设A、B为n阶方阵，且对，有｜λE—A｜=｜λE一B｜，则( )．

admin2021-12-09 51

问题设A、B为n阶方阵，且对

，有｜λE—A｜=｜λE一B｜，则( )．

选项 A、｜λE+A｜=｜λE+B｜
B、A与B相似
C、A与B合同
D、A、B同时可对角化或A、B同时不可对角化

答案A

解析由｜λE—A｜=｜λE一B｜知，A、B具有相同的特征值λ₁，λ₂，…λ_n，即｜λE—A｜=｜λE一B｜=(λ—λ₁)(λ—λ₂)…(λ—λ₂)，而一A，一B的特征值为一λ₁，一λ₂，…，一λ_n，所以｜λE一(一A)｜=｜λE一(一B)｜=(λ₁+λ₁)…(λ+λ_n)，即｜λE+A｜=｜λE+B｜．B,C,D均可举反例说明不成立．其中C项不正确是显然的，因为A、B合同，其前提是A、曰为对称矩阵．反例：如A

则A、B的特征多项式相同，但A、B不相似，否则P^-1AP=B→A=PBP^-1=PEP^-1=E，矛盾，可排除B,D.

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考研数学三

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