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  3. 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的。

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的。

admin2018-04-08  74
问题 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的。
选项
答案用线性无关的定义证明。 设有常数λ0，λ1，…，λk－1，使得 λ0α，λ1Aα，…，λk－1Ak－1α=0 (*) 两边左乘Ak－1，则有 Ak－1(λ0α，λ1Aα，…，λk－1Ak－1α)=0，即 λ0Ak－1α，λ1Akα，…，λk－1A2(k－1)α=0，上式中因Akα=0，可知Ak+1α=…=A2(k－1)α=0，代入上式可得λ0Ak－1α=0。由题设Ak－1α≠0，所以λ0=0。将λ0=0代入(*)，有λ1Aα+…+λk－1Ak－1α=0。两边左乘Ak－2，则有Ak－2(λ1Aα+…+λk－1Ak－1α)=0，即λ1Ak－1α+…+λk－1A2k－3α=0。同样，由Akα=0，Ak+1α=…=A2(k－1)α=0，可得λ1Ak－1α=0。由题设Ak－1α≠0，所以λ1=0。类似地可证明λ2=…=λk－1=0，因此向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的。
解析
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考研数学一

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