已知A是n阶非零矩阵，且A中各行元素对应成比例，又α1，α2，…，αt是Aχ＝0的基础解系，β不是Aχ＝0的解．证明任一n维向量均可由α1，α2，…，αt，β线性表出．

admin2019-07-19 34

问题已知A是n阶非零矩阵，且A中各行元素对应成比例，又α₁，α₂，…，α_t是Aχ＝0的基础解系，β不是Aχ＝0的解．证明任一n维向量均可由α₁，α₂，…，α_t，β线性表出．

选项

答案因为矩阵A中各行元素对应成比例，故r(A)＝1，因此t＝n－1．若k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_n-1α_n-1＋lβ＝0， ① 用A左乘上式，并把Aα_i＝0(i＝1，2，…，n－1)代入，得 lAβ＝0．由于Aβ≠0，故l＝0．于是①式为 k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_n-1α_n-1＝0． ② 因为α₁，α₂，…，α_n-1是基础解系，知α₁，α₂，…，α_n-1线性无关．从而由②知k₁＝0，k₂＝0，…，k_n-1＝0．因此α₁，α₂，…，α_n-1，β线性无关．对任一n维向量γ由于任意n＋1个n维向量α₁，α₂，…，α_n-1，β，γ必线性相关，那么γ必可由α₁，…，α_n-1，β线性表出．

解析

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考研数学一

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已知A是n阶非零矩阵，且A中各行元素对应成比例，又α1，α2，…，αt是Aχ＝0的基础解系，β不是Aχ＝0的解．证明任一n维向量均可由α1，α2，…，αt，β线性表出．

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