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  3. [2013年] 设A=．B=，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC—CA=B，并求所有矩阵C．

[2013年] 设A=．B=，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC—CA=B，并求所有矩阵C．

admin2019-06-09  55
问题 [2013年]  设A=．B=，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC—CA=B，并求所有矩阵C．
选项
答案因所给矩阵方程不易化为式(2．2．4．1)中三种类型的矩阵方程，下用待定元素法求之．为此设出矩阵C中的元素，将方程AC—CA=B；化为一非齐次线性方程解之． 设C=[*]，则AC=[*] [*] 由AC—CA=B得到四元非齐次线性方程组： [*] ① 存在矩阵C使AC—CA=B成立，上述方程组必有解．为此将上述方程组的增广矩阵[*]用初等行变换化为阶梯形矩阵： [*] 当a≠一1或b≠0时，因秩([*])≠秩(A)，方程组无解． 当a=一l且b=0时，秩([*])=秩(A)=2＜n=4，方程组有解，且有无穷多解．由基础解系和特解的简便求法得到，其基础解系为 α1=[1，a，1，0]T=[1，一1，l，0]T，α2=[1，0，0，1]T， 则对应齐次线性方程组的通解为c1α1+c2α2． 而方程组①的特解为[1，0，0，0]T，故方程组①的通解为 X=c1[1，一1，1，0]T+c2[1，0，0，1]T+[1，0，0，0]T， 即X=[x1，x2，x3，x4]T=[c1+c2+l，－c1，c1，c2]T，亦即x1=c1+c2+1，x2=一c1，x3=c1，x4=c2(c1，c2为任意常数)，故所求的所有矩阵为 C=[*](c1,c2为任意常数)．
解析
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考研数学二

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