设y=xcosx，求y(n)．

admin2016-10-26 36

问题设y=xcosx，求y⁽ⁿ⁾．

选项

答案逐一求导，得 y′=cosx+x(cosx)′， y″=2(cosx)′+x(cosx)″， [*]=y⁽³⁾=3(cosx)″+x(cosx)⁽³⁾，… 观察其规律得 y⁽ⁿ⁾=n(cosx)^(n－1)+x(cosx)⁽ⁿ⁾． (*) 用归纳法证明：当n=1时(*)显然成立，设n=k时(*)式成立，得 y^(k+1)=k(cosx)^(k)+(cosx)^(k)+x(cosx)^(k+1)= (k+1)(cosx)^(k)+x(cosx)^(k+1)，即n=k+1时成立，因此(*)式对任意自然数n成立．再用(cosx)⁽ⁿ⁾的公式得 y⁽ⁿ⁾= ncos(x+[*]．

解析逐一求导，求出y′，y″，…，总结出规律，写出y⁽ⁿ⁾表达式，然后用归纳法证明．

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