[2014年] 已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y′=1一y′，且y(2)=0．求y=y(x)的极大值与极小值．

admin2021-01-19 99

问题 [2014年] 已知函数y=y(x)满足微分方程x²+y²y′=1一y′，且y(2)=0．求y=y(x)的极大值与极小值．

选项

答案先求出y′的表达式，令其等于0，求出驻点；再用一阶导数判别法或用二阶导数判别法找出极值点．为求出极值点需先求出函数的表达式．由所给方程易求得y′=[*]令y′=0，得到y=y(x)的驻点x=±1，下用一阶导数判别法找出y(x)的极值点，事实上，当x＜一1时，y′＜0；当一1＜x＜1时，y′＞0；当x＞1时，y′＜0．由此知道x=一1为y=y(x)的极小值点，x=1为y=y(x)的极大值点．为求出y=y(x)的极值，需先求出y=y(x)的表达式．由所给方程得到(1+y²)dy=(1一x²)dx，两边积分得到y+[*]y³=x一[*]x³+C．由y(2)=0得C=[*]，从而 y+[*] ① 将x=1代入式①得到 y(1)+[*] 可观察看出y(1)=1．将x=一1代入式①得到 y(一1)+[*]=0．可观察看出y(一1)=0．因而y=y(x)的极小值为y(一1)=0，极大值为y(1)=1．

解析

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考研数学二

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