[2013年] 设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f′(∈)=1；

admin2019-06-09 70

问题 [2013年] 设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：
存在ξ∈(0，1)，使得f′(∈)=1；

选项

答案证一由f′(ξ)=1得f′(ξ)一1=0，[f(x)一x]′∣_x=ξ=0，因而令辅助函数 F(x)=f(x)－x．因F(1)=f(1)一l=l一1=0，又f(x)为奇函数，故f(0)=0，于是F(0)=f(0)－0=0．显然F(x)在[0，1]上满足罗尔定理的其他条件，由该定理知，存在ξ∈(0，1)，使F′(ξ)=0，即f′(ξ)一1=0，f′(ξ)=1．证二也可用拉格朗日中值定理证之，注意到f(1)=1，f(0)=0，对f(x)在[0，1]上使用拉格朗日中值定理得到：存在ξ∈(0，1)使f(1)一f(0)=(1—0)f′(ξ)，即f′(ξ)=1．

解析

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