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  3. 设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n．证明：ATA的特征值全大于零．

设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n．证明：ATA的特征值全大于零．

admin2016-10-13  60
问题 设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n．证明：ATA的特征值全大于零．
选项
答案首先ATA为实对称矩阵，r(ATA)=n，对任意的X＞0，XT(ATA)X=(AX)T(AX)，令AX=α，因为r(A)=n，所以α≠0，所以(AX)T(AX)=αTα=‖α‖2＞0，即二次型XT(ATA)X是正定二次型，ATA为正定矩阵，所以ATA的特征值全大于零．
解析
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考研数学一

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