设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则

admin2018-07-31 49

问题设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则

选项 A、E一αα^T不可逆．
B、E+αα^T不可逆．
C、E+2αα^T不可逆．
D、E一2αα^T不可逆．

答案A

解析对于任意的n维单位列向量α．可以证明选项(A)中的矩阵的行列式必等于零．为简明起见，以n=3为例来证明(一般情形的证明类似)．设α=(a₁，a₂，a₃)^T是任意的3维单位列向量，则a₁²+a₂²+a₃²=1．选项(A)中的矩阵的行列式为(不妨没a₁≠0)
det(E一αα)=

分别将第2行的a₂倍、第3行的a₃倍加到第1行上去．并利用a₁²+a₂²+a₃²=1，得行列式的第1行为零行，故该行列式等于零，从而知选项(A)中的矩阵是不可逆的．故选(A)．

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考研数学一

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