设A是一个n阶实矩阵，使得AT+A正定，证明A可逆．

admin2019-05-11 59

问题设A是一个n阶实矩阵，使得A^T+A正定，证明A可逆．

选项

答案矩阵可逆，有好几个充分必要条件，本题从哪个条件着手呢?行列式不好用，虽然A^T+A正定可得｜A^T+A｜≠0，但是由此不能推出｜A｜≠0．用秩也不好下手．用“AX=0没有非零解”则切合条件．设n维实列向量α满足Aα=0，要证明α=0． α^T(A^T+A)α=α^TA^Tα+α^TAα=(Aα)^Tα+α^TAα=0．由A^T+A的正定性得到α=0．

解析

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设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)．(Ⅰ)求S=S(a)的表达式；(Ⅱ)当a取何值时，面积S(a)最小?
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