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  3. 设A，B是n阶可逆矩阵，且A～B，则 ①A－1～B－1； ②AT～BT； ③A*～B*； ④AB～BA． 其中正确的个数是 ( )

设A，B是n阶可逆矩阵，且A～B，则 ①A－1～B－1； ②AT～BT； ③A*～B*； ④AB～BA． 其中正确的个数是 ( )

admin2019-07-28  78
问题 设A，B是n阶可逆矩阵，且A～B，则
①A－1～B－1；
②AT～BT；
③A*～B*；
④AB～BA．
其中正确的个数是    (  )
选项 A、1
B、2
C、3
D、4
答案D
解析 由A～B，有｜A｜=｜B｜，且存在可逆矩阵P，使
P－1AP=B，    (*)
(*)式两边求逆得
P－1A－1P=B－1，    (**)
从而A－1～B－1(①成立)．
(*)式两边转置，得PTAT(P－1)T=BT，记(P－1)T=Q，PT=Q－1，即Q－1ATQ=BT．
从而AT～BT(②成立)．
(**)式两边乘｜A｜，P－1｜A｜A－1P=P－1A*P=｜B｜B－1=B*，从而A*～B*(③成立)．
因A可逆，故BA=EBA==A－1ABA=A－1(AB)A，即AB～BA(④成立)．
故应选(D)．
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考研数学二

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