[2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

admin2019-04-05 73

问题 [2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(e^xcosy)满足

=(4z+e^xcosy)e^2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

选项

答案作变量代换u=e^xcosy将所给方程化为z对u的导数的新方程，解之即可求得f(u)的表达式．令u=e^xcosy，则z=f(e^xcosy)可看成是z=f(u)与u=e^xcosy的复合函数．先应用复合函数求导法则将z对x，y的偏导数所满足的方程化为z对u的导数所满足的方程： [*]=f′(u)e^xcosy，[*]=f′(u)(一e^xsiny)， [*][f′(u)e^xcosy]=f″(u)e^xcosy+f′(u)e^xcosy =f″(u)e^2xcos²y+f′(u)e^xcosy， ① [*][f′(u)(一e^xsiny)]=一f″(u)[*]e^xsiny－e^xcosyf′(u) =f″(u)esiny·e^xsiny·e^x－f′(u)e^xcosy=f″(u)e^2xsin²y—f′(u)e^xcosy． ② 由式①+式②得到[*]=f″(u)e^2x，代入原方程得到f″(u)e^2x=[4f(u)+u]e^2x，即 f″(u)一4f(u)=u ③ 于是求f(u)转化为解下述初值问题： [*]其中y=f(u)．其对应的特征方程为λ²一4=0，其特征值为λ=±2，从而其对应的齐次方程的通解为 Y=C₁e^2u+C₂e^-2u，其中c₁，c₂为任意常数．又由观察法易看出y″一4y=u的一个特解为y^*=一[*]u，显然y^*=一[*]u满足上述方程，于是方程③的通解为 y=Y+y^*=c₁e^2u+c₂e^-2u一[*]u．由初始条件y(0)=0，y′(0)=0得到c₁+c₂=0，2c₁一2c₂一[*]=0，解得c₁=[*],c₂=一[*] 综上得到f(u)的表达式为f(u)=[*].

解析

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考研数学二

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[2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

考研数学二

设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，…ηn-r+1是它的n一r+1个线性无关的解．试证它的任一解可表示为x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1(其中k1+…+kn-r+1=1)．

已知3阶矩阵A与3维列向量x，使x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x，令P=(x，Ax，A2X)(1)求3阶矩阵B，使A=PBP-1；(2)求｜A+E｜的值．

已知A是正定矩阵，证明｜A＋E｜＞1．

设f(x)在[0，a](a>0)上非负、二阶可导，且f(0)=0，为y=f(x)，y=0，x=a围成区域的形心，证明：

设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0，证明：ξ∈(a，b)，使f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．

求下列极限：

设a＞1，n为正整数，证明：

(2012年)设区域D由曲线y=sin，x=，y=1围成，则(xy5-1)dxdy=

(2003年试题，十)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且．f’(x)>0．若极限存在，证明：(1)在(a，b)内f(x)>0；(2)在(a，b)内存在点ξ使(3)在(a，b)内存在与(2)中ξ相异的点η，使f’(η)(b2

[2009年]当x→0时f(x)=x—sinx与g(x)=x2ln(1－bx)为等价无穷小，则()．

A．肾盂B．肾间质C．肾小球D．肾皮质上行性感染引起的肾盂肾炎首先累及

乙醇在片剂制备中可作为哪种辅料

传染性非典型肺炎的氧疗指征是

空头支票

人民法院保全与会员资格相应的会员资格费或交易席位，应当依法裁定()。

下列关于客户资产保护的表述，错误的是()。

A、 B、 C、 D、 A

执行下段程序后　　MOV　CX，　5　　　MOV　AX，　50　　　LPl：　SUB　AX，　CX　　　LOOP　LPl　　　HLT　　　AX=(　　　)。

有以下程序：　#include＜stdio．h＞　structtt{intx；structtty；}p；　structtta[4]={20，a+1，15，a+2，30，a+3，17，a}；　main()　{　inti；

Solar-generatedelectricitydocsnotcarrythehealthorenvironmentalrisksofnuclearenergy.Wecanneverrunoutofsolaren

[2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

考研数学二

设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，…ηn-r+1是它的n一r+1个线性无关的解．试证它的任一解可表示为x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1(其中k1+…+kn-r+1=1)．

已知3阶矩阵A与3维列向量x，使x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x，令P=(x，Ax，A2X)(1)求3阶矩阵B，使A=PBP-1；(2)求｜A+E｜的值．

已知A是正定矩阵，证明｜A＋E｜＞1．

设f(x)在[0，a](a>0)上非负、二阶可导，且f(0)=0，为y=f(x)，y=0，x=a围成区域的形心，证明：

设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0，证明：ξ∈(a，b)，使f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．

求下列极限：

设a＞1，n为正整数，证明：

(2012年)设区域D由曲线y=sin，x=，y=1围成，则(xy5-1)dxdy=

(2003年试题，十)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且．f’(x)>0．若极限存在，证明：(1)在(a，b)内f(x)>0；(2)在(a，b)内存在点ξ使(3)在(a，b)内存在与(2)中ξ相异的点η，使f’(η)(b2

[2009年]当x→0时f(x)=x—sinx与g(x)=x2ln(1－bx)为等价无穷小，则()．

A．肾盂B．肾间质C．肾小球D．肾皮质上行性感染引起的肾盂肾炎首先累及

乙醇在片剂制备中可作为哪种辅料

传染性非典型肺炎的氧疗指征是

空头支票

人民法院保全与会员资格相应的会员资格费或交易席位，应当依法裁定()。

下列关于客户资产保护的表述，错误的是()。

A、 B、 C、 D、 A

执行下段程序后 MOV CX， 5 MOV AX， 50 LPl： SUB AX， CX LOOP LPl HLT AX=( )。

有以下程序： #include＜stdio．h＞ structtt{intx；structtt*y；}*p； structtta[4]={20，a+1，15，a+2，30，a+3，17，a}； main() { inti；

Solar-generatedelectricitydocsnotcarrythehealthorenvironmentalrisksofnuclearenergy.Wecanneverrunoutofsolaren

执行下段程序后　　MOV　CX，　5　　　MOV　AX，　50　　　LPl：　SUB　AX，　CX　　　LOOP　LPl　　　HLT　　　AX=(　　　)。

有以下程序：　#include＜stdio．h＞　structtt{intx；structtty；}p；　structtta[4]={20，a+1，15，a+2，30，a+3，17，a}；　main()　{　inti；