2. 考研
  3. 设f(x)∈c[a，b]，在(a，b)内二阶可导． 若f(A)=0，f(b)＜0，f+’(a)＞0．证明：存在ξ∈(12，6)，使得f(ξ)f’’(ξ)+f’2(ξ)=0．

设f(x)∈c[a，b]，在(a，b)内二阶可导． 若f(A)=0，f(b)＜0，f+’(a)＞0．证明：存在ξ∈(12，6)，使得f(ξ)f’’(ξ)+f’2(ξ)=0．

admin2017-03-02  59
问题 设f(x)∈c[a，b]，在(a，b)内二阶可导．
若f(A)=0，f(b)＜0，f+’(a)＞0．证明：存在ξ∈(12，6)，使得f(ξ)f’’(ξ)+f’2(ξ)=0．
选项
答案因为f+’(A)＞0，所以存在c∈(a，b)，使得f(C)＞f(A)=0，因为f(C)f(B)＜0，所以存在x0∈(c，b)，使得f(x0)=0．因为f(A)=f(x0)=0，由罗尔定理．存在x1∈(a，x0)，使得f’(x1)=0．令φ(x)=f(x)f’(x)，由φ(A)=φ(x1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(a，x1)c(a，b)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=f(x)f’’(x)+f’2(x)，所以f2(ξ)f’’(ξ)+f’2(ξ)=0．
解析
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考研数学三

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