设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y’+ky=f(x)存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．

admin2018-06-27 132

问题设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y’+ky=f(x)存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．

选项

答案此线性方程的通解即所有解可表示为y(x)=e^-kx[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]． y(x)以ω为周期，即y(x)=y(x+ω)，亦即 e^-kx[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]=e^-kx-kω[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]． [*]C+∫₀^xf(t)e^ktdt=e^-kω[C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt][*]e^-kω[C+∫_-ω^xf(s+ω)e^ks+kωds] =Ce^-kω+∫_-ω⁰f(s)e^ksds+∫₀^xf(s)e^ksds． [*]∫_-ω⁰f(s)e^ksds[*]∫₀^ωf(t)e^ktdt=[*]∫₀^ωf(t)e^ktdt．对应于这个C的特解就是以ω为周期的函数，而且这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个．

解析

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考研数学二

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设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y’+ky=f(x)存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．

考研数学二

设曲线F的极坐标方程为r=eθ，则F在点处的法线的直角坐标方程是_________.

设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α．证明：BTB是正定矩阵．

下列二元函数在点(0，0)处可微的是

设ξ1=[1，3，一2]T，ξ2=[2，一1，3]T是Ax=0的基础解系，Bx=0和Ax=0是同解方程组，η=[2，a，b]T是方程组的解，则η=_________.

设ξ1=[1，一2，3，2]T，ξ2=[2，0，5，一2]T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则下列向量中是齐次线性方程组Ax=0的解向量的是()

设f(x)在[0，1]上可导，且满足试证明：存在ξ∈(0，1)，使

设位于第一象限的曲线y＝f(x)过点，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．(1)求曲线y＝f(x)的方程；(2)已知曲线y＝sinx在[0，π]上的弧长为l，试用，表示曲线y＝f(x)的弧长s．

(1999年试题，一)微分方程y’’一4y=e2x的通解为____________.

设一1＜x1＜0，xn+1=xn2+2xn(n=0，1，2，…)．证明数列{xn}的极限存在，并求此极限值．

一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的，求全部融化需要的时间．

患者女性，42岁，体检时发现脾略大，可除外哪种疾病

不宜空腹服用的是

青年男性，近半年来逐渐出现生活懒散，不愿工作，神情呆滞，有时暗自发笑，有时叹气，说听到鸟叫的声音或火车鸣笛声。

用复合树脂修复时，垫底材料不应选用

以下何种方法可以使硅胶薄层色谱在检识生物碱时效果更好（　　）。

以“以人为本”为原则，谈一下你如何开展工作?

设A=(aij)n×n，且=0，i=1，2，…，n，求r(A)及A．

ThenewprestigeoftheBritishgraduatesisthemostspectacularbecauseinthepastBritainhasbeenmuch(31)interestedinu

WhyisLauraatthebicycleshop?

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设位于第一象限的曲线y＝f(x)过点，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．(1)求曲线y＝f(x)的方程；(2)已知曲线y＝sinx在[0，π]上的弧长为l，试用，表示曲线y＝f(x)的弧长s．

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患者女性，42岁，体检时发现脾略大，可除外哪种疾病

不宜空腹服用的是

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用复合树脂修复时，垫底材料不应选用

以下何种方法可以使硅胶薄层色谱在检识生物碱时效果更好（ ）。

以“以人为本”为原则，谈一下你如何开展工作?

设A=(aij)n×n，且=0，i=1，2，…，n，求r(A*)及A*．

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