设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )

admin2021-02-25 102

问题设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )

选项 A、当n＞m时仅有零解
B、当n＞m时必有非零解
C、当m＞n时仅有零解
D、当m＞n时必有非零解

答案D

解析本题考查齐次线性方程组仅有零解的条件和矩阵的秩的性质．要求考生掌握：(1)对于m阶矩阵AB，若r(AB)=m，则(AB)x=0仅有零解；若r(AB)＜m，则(AB)x=0必有非零解．(2)矩阵的秩的公式：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，r(A_m×n)≤min{m，n}．
当m＞n时，r(A)≤n＜m，r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n＜m，所以方程组(AB)x=0必有非零解．因而选D．

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