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求函数f(x,y)=xy--y在由抛物线y=4-x2(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。
求函数f(x,y)=xy--y在由抛物线y=4-x2(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。
admin
2019-12-06
69
问题
求函数f(x,y)=xy-
-y在由抛物线y=4-x
2
(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。
选项
答案
区域D如图所示。 [*] (1)边界L
1
:y=0(0≤x≤2),此时f(x,0)=[*], 函数在此边界的最大值为f(0,0)=0,最小值为f(2,0)=[*] 边界L
2
:x=0(0≤y≤4),则f(0,y)=﹣y,函数在此边界的最大值为f(0,0)=0,最小值为f(0,4)=﹣4。 边界L
3
:y=4-x
2
(x≥0), 则f(x,y)=xy-[*]-y=x(4-x
2
)-[*]-(4-x
2
), 令f
’
(x)=﹣3x
2
+2x+[*]=0, 解得x=[*](舍去),x=[*],又 f
’’
(x)=﹣6x+2,f
’’
(4/3)﹤0, 故该函数在此边界的最大值为[*]。 (2)区域D内部,f(x,y)=xy-[*]-y,则 [*] 解得x=1,y=4/3, f
xx
’’
(x,y)=0, f
xy
’’
(x,y)=1, f
yy
’’
(x,y)=0, 故AC-B
2
﹤0,函数在区域D内部不取极值。 综上所述,函数在区域D上的最大值为f(0,0)=0;最小值为f(0,4)=﹣4。
解析
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考研数学二
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