2. 考研
  3. 设矩阵A=(a1，a2，a3，a4)，其中a2，a3，a4线性无关，a1=2a2—a3，向量b=a1+a2+a3+a4，求方程Ax=b的通解．

设矩阵A=(a1，a2，a3，a4)，其中a2，a3，a4线性无关，a1=2a2—a3，向量b=a1+a2+a3+a4，求方程Ax=b的通解．

admin2021-02-25  42
问题 设矩阵A=(a1，a2，a3，a4)，其中a2，a3，a4线性无关，a1=2a2—a3，向量b=a1+a2+a3+a4，求方程Ax=b的通解．
选项
答案方法一：因为a1=2a2一a3，则a1，a2，a3线性相关，从而可得a1，a2，a3，a4线性相关，而a2，a3，a4线性无关，所以R(A)=3，从而可得方程Ax=0的基础解系中解向量个数为1，由a1=2a2—a3 可得O=a1—2a2+a3=(a1，a2，a3，a4)[*] 所以x=(1，一2，1，0)T是Ax=0的一基础解系． 又因为b=a1+a2+a3+a4=(a1，a2，a3，a4)[*]，所以(1，1，1，1)T是Ax=b的一个特解．所以方程Ax=b的通解为x=k[*]，k∈R． 方法二：令x=(x1，x2，x3，x4)T是方程Ax=b的解，即有x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=b.所以 x1(2a2一a3)+x2a2+x3a3+x4a4=a1+a2+a3+a4， 即(2x1+x2)a2+(x3一x1)a3+x4a4=2a2一a3+a2+a3+a4， 即(2x1+x2—3)a2+(一x1+x3)a3+(x4—1)a4=0． 因为a2，a3，a4线性无关，从而有[*] 解方程组可得[*]，k∈R，即为Ax=b的通解．
解析
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考研数学二

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