设A为3阶实对称矩阵，B为3阶不可逆矩阵，且B≠O，AB-2B=O，已知tr(A)=3，则|A+3E|=( )．

admin2022-12-09 7

问题设A为3阶实对称矩阵，B为3阶不可逆矩阵，且B^*≠O，AB-2B=O，已知tr(A)=3，则|A^*+3E|=( )．

选项 A、7
B、4
C、-7
D、-4

答案A

解析由r(B)＜3得r(B^*)=0或1，因为B^*≠O，所以r(B^*)=1，于是r(B)=2；
由AB-2B=O得(2E-A)B=O，
即λ=2为矩阵A的特征值，又因为r(B)=2，
所以λ=2为矩阵A的二重特征值，即λ₁=λ₂=2，再由tr(A)=3得λ₃=-1，
由|A|=-4得A^*的特征值为一2，一2，4，A’+3E的特征值为1，1，7
故|A^*+3E|=7，应选(A)．

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