设f(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，｜f′(x)｜≤．证明：，x∈[0，1]．

admin2019-09-27 28

问题设f(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，｜f′(x)｜≤

．证明：

，x∈[0，1]．

选项

答案因为f(x)在[0，1]上可导，所以f(x)在[0，1]上连续，从而｜f(x)｜在[0，1]上连续，故｜f(x)｜在[0，1]上取到最大值M，即存在x₀∈[0，1]，使得｜f(x₀)｜=M．当x₀=0时，则M=0，所以f(x)≡0，x∈[0，1]；当x₀≠0时，M=｜f(x₀)｜≡｜f(x₀)－f(0)｜=｜f′(ξ)｜x₀≤｜f′(ξ)｜≤[*]，其中ξ∈(0，x₀)，故M=0，于是f(x)≡0，x∈[0，1]．

解析

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考研数学一

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