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设f(x)在[a,b]上连续可导,且f(a)=0,证明:∫abf2(x)dx≤∫ab[f’(x)]2dx.
设f(x)在[a,b]上连续可导,且f(a)=0,证明:∫abf2(x)dx≤∫ab[f’(x)]2dx.
admin
2021-11-25
50
问题
设f(x)在[a,b]上连续可导,且f(a)=0,证明:∫
a
b
f
2
(x)dx≤
∫
a
b
[f’(x)]
2
dx.
选项
答案
由f(a)=0得f(x)-f(a)=f(x)=∫
a
x
f’(t)dt,由柯西不等式得 f
2
(x)=(∫
a
x
f’(t)dt)
2
≤∫
a
x
l
2
dt∫
a
x
f’
2
(t)dt≤(x-a)∫
a
b
f’
2
(x)dx 积分得∫
a
b
f
2
(x)dx≤∫
a
b
(x-a)dx·∫
a
b
f’
2
(x)dx=[*]∫
a
b
f’
2
(x)dx.
解析
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考研数学二
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