设函数f(x)在[0，1]上可微，当0≤x≤1时0＜f(x)＜1且f＇(x)≠1，证明有且仅有一点X∈(0，1)，使得f(x)=x

admin2019-08-27 24

问题设函数f(x)在[0，1]上可微，当0≤x≤1时0＜f(x)＜1且f＇(x)≠1，证明有且仅有一点X∈(0，1)，使得f(x)=x

选项

答案证明：令函数F(x)=f(x)一x，则F(x)在[0，1]上连续，又由0＜f(x)＜1知，F(0)=f(0)一0＞0，F(1)=f(1)一1＜0，由零点定理知，在(0，1)内至少有一点x，使得F(x)=0，即f(x)=x，假设有两点x₁，x₂∈(0，1)，x₁≠x₂，使f(x₁)=x₁，f(x₂)=x₂，则由拉格朗日中值定理知，至少存在一点ξ∈(0，1)使f＇(ξ)=[*]=1这与已知f＇(x)≠1矛盾，命题得证。

解析

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