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  3. 设A为m×n矩阵，且r(A)＝r()＝r

设A为m×n矩阵，且r(A)＝r()＝r

admin2016-05-17  42
问题 设A为m×n矩阵，且r(A)＝r()＝r＝(Ab)．
证明方程组AX＝b有且仅有n－r+1个线性无关解；
选项
答案令ξ1，ξ2，…，ξn-r为AX=0的基础解系，η0为AX=b的特解，显然β0=η0， β1=ξ1+η0,…，βn-r=ξn-r+η0为AX=b的一组解，令k0β0+k1β1+…+kn－rβn-r=0，即 k1ξ1+k2ξ2+…kn-rξn-r+(k0+k1…+kn-r)η0=0． 上式左乘A得(k0+k1…+kn-r))b=0，因为b≠0时，k0+k1…+kn-r)=0，于是 k1ξ1+k2ξ2+…kn-rξn-r=0，因为ξ1，ξ2,…，ξn-r为AX=0的基础解系，所以k1=k2=…=kn-r=0，于是k0=0，故β0,β1，…，βn-r线性无关． 若γ0，γ1，…，γn-r+1为AX=b的线性无关解，则ξ1=γ1-γ0，…，ξn-r+1=γn-r+1－γ0为AX=0的解，令k1ξ1+k2ξ2+…kn-r+1ξn-r+1=0，则k1γ1+k2γ2+…kn-r+1γn-r+1-(k1+k2+kn-r+1)γ0=0． 因为γ0，γ1，…，γn-r+1线性无关，所以k1=k2 =…=kn-r+1=0，即ξ1,ξ2,…,ξn-r+1为AX=0的线性无关解，矛盾，故方程组AX=b恰有n－r+1个线性无关解．
解析
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考研数学二

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