设f(x)在[0，c]上有定义，f’(x)存在且单调减少，f(0)=0，证明对于0≤a≤b≤a+b≤c，恒有f(a+b)≤f(a)+f(b)．

admin2018-10-17 51

问题设f(x)在[0，c]上有定义，f^’(x)存在且单调减少，f(0)=0，证明对于0≤a≤b≤a+b≤c，恒有f(a+b)≤f(a)+f(b)．

选项

答案在[0，a]上用拉格朗日中值定理得 f(a)一f(0)=f^’(ξ)(a一0)，(0＜ξ＜a) 即有 f(a)=af^’(ξ)，(0＜ξ＜a) 再对f(x)在[b，a+b]上应用拉格朗日中值定理得 f(b+a)=f(b)+f^’(η)a，(b＜η＜a+b) 因为f^’(x)单调减少，且ξ＜a≤b＜η，则有f^’(ξ)＞f^’(η)，而a≥0，故af^’(ξ)≥af^’(η)，于是 f(a+b)≤f(b)+af^’(ξ)=f(b)+f(a)．

解析

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