设A、B为同阶正定矩阵，且AB=BA。证明：AB为正定矩阵．

admin2018-08-03 56

问题设A、B为同阶正定矩阵，且AB=BA。证明：AB为正定矩阵．

选项

答案因A、B正定，有A^T=A，B^T=B，故(AB)^T=B^TA^T=BA=AB，即AB也是对称矩阵．因A正定，由前题，存在正定阵S，使A=S²，于是S^—1(AB)S=S^—1SSBS=SBS=S^TBS，由于B正定，故与B合同的矩阵S^TBS正定，故S^TBS的特征值全都大于零，而S=(AB)s=S^TBS，说明AB与S^TBS相似．由于相似矩阵有相同的特征值，故AB的特征值(即S^TBS的特征值)全都大于零，因而对称阵AB正定．

解析

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