设a＞e，0＜x＜y＜，求证ay-ax＞(cosx-cosy)axlna．

admin2016-10-20 49

问题设a＞e，0＜x＜y＜

，求证a^y-a^x＞(cosx-cosy)a^xlna．

选项

答案令f(t)=a^t，g(t)=cost，在区间[x，y]上应用柯西中值定理，即存在满足0＜x＜ξ＜ y＜[*]的ξ，使得 [*] 由于a^x＜a^ξ，0＜sinξ＜1，故由上式可得 a^y-a^x＞(cosx-cosy)a^xlna．

解析把不等式改写成

注意到(a^x)’=a^xlna，(cosx)’=-sinx，而｜sinx｜≤1.对f(t)=a^t，g(t)=cost，应用柯西中值定理即可．

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