(2014年)设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x。若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式。

admin2018-03-11 105

问题 (2014年)设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(e^xcosy)满足

=(4z+e^xcosy)e^2x。若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式。

选项

答案设u=e^xcosy，则z=f(u)=f(e^xcosy)，对其求导得 [*] 由已知条件[*]可知f"(u)=4f(u)+u。这是一个二阶常系数非齐次线性方程。对应齐次方程的通解为f(u)=C₁e^2u+C₂e^-2u，其中C₁，C₂为任意常数，对应非齐次方程特解为[*]故非齐次方程通解为 [*] 将初始条件f(0)=0，f′(0)=0代入，可得[*]所以f(u)的表达式为 [*]

解析

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考研数学一

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