[2012年] 设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P-1AP=. 若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q-1AQ=( )．

admin2019-05-10 49

问题 [2012年] 设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P^-1AP=

.
若P=[α₁，α₂，α₃]，Q=[α₁+α₂，α₂，α₃]，则Q^-1AQ=( )．

选项 A、
B、
C、
D、

答案B

解析注意到Q的列向量为α₁，α₂，α₃的线性组合，首先将Q改写为P与一数字矩阵相乘的形式，再代入Q^-1AQ中进行运算，即可求得正确选项．
解一因Q=[α₁+α₂，α₂，α₃]=[α₁，α₂，α₃]

因而Q^-1AQ=

，故

仅(B)入选．
解二用初等矩阵表示，有Q=PE₁₂：(1)，由E₁₂^-1(1)=E₁₂(一1)得到
Q^-1AQ=[PE₁₂(1)]^-1APE₁₂(1)=E₁₂^-1(1)P^-1APE₁₂(1)=E₁₂(一1)P^-1APE₁₂(1)
=

仅(B)入选．

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