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若函数f是区间I上的一一对应的连续函数．则f是I上的严格单调函数．
若函数f是区间I上的一一对应的连续函数．则f是I上的严格单调函数．
admin
2022-10-31
60
问题
若函数f是区间I上的一一对应的连续函数．则f是I上的严格单调函数．
选项
答案
反证法．若f在I上不是严格单调的，则必[*]x
1
，x
2
，x
3
满足x
1
＜x
2
＜x
3
，使得 (f(x
1
)-f(x
2
))(f(x
2
)-f(x
3
))＜0． 不妨设f(x
1
)＞f(x
2
)，f(x
2
)＜f(x
3
)．取满足下列条件的实数μ：f(x
2
)＜μ＜min{f(x
1
)，f(x
3
)}．分别在区间[x
1
，x
2
]，[x
2
，x
3
]上应用连续函数的介值定理，[*]ξ
1
，ξ
2
满足x
1
＜ξ
1
x
2
，x
2
＜ξ
2
x
3
，使得f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=μ．此与f是一一对应矛盾．
解析
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考研数学三
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