设A，B是两个n阶方阵，且满足A2=E，B2=E，试证明：(AB)2=EAB=BA．

admin2020-09-29 49

问题设A，B是两个n阶方阵，且满足A²=E，B²=E，试证明：(AB)²=E

AB=BA．

选项

答案充分性[*]：由于AB=BA，等式两端同时左乘AB可得(AB)²=(AB)(BA)=A(B²)A，因为A²=B²=E，所以(AB)²=A.A=A²=E．必要性[*]：由于(AB)²=E，所以E=(AB)²=(AB)(AB)=A(BA)B，等式两端左乘A，右乘B可得AB=AA(BA)BB=A²(BA)B²，而A²=B²=E，所以AB=BA．所以(AB)²=E[*]AB=BA．

解析

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考研数学一

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