设α是n维列向量，已知αTα阶矩阵A＝E－ααT，其中E为n阶单位矩阵，证明矩阵A不可逆．

admin2018-06-12 65

问题设α是n维列向量，已知α^Tα阶矩阵A＝E－αα^T，其中E为n阶单位矩阵，证明矩阵A不可逆．

选项

答案由于A＝E－αα^T，αα^T＝1，故有 A²(E－αα^T)²＝(E－αα^T)(E－αα^T)＝E－2αα^T＋(αα^T)(αα^T) ＝E－2αα^T＋α(α^Tα)α^T＝E－2αα^T＝E－αα^T＝A． ① 设n维列向量α＝(a₁，a₂，…，a_n)^T．由α^Tα＝[*]a_i²＝1知，至少有一个分量a_i≠0，即α是非零向量．用反证法证明，如果矩阵A可逆，用A^-1左乘①式的两边，得A＝E．因为A＝E－αα^T，从而有E－αα^T＝E，故此时αα^T＝0，这与α为非零列向量矛盾，所以矩阵A不可逆．

解析

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