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设n维向量α1,α2,α3满足α1—2α2+3α3=0，对任意的n维向量β，向量组α1+αβ，α2+bβ，α3线性相关，则参数a，b应满足条件 ( )
设n维向量α1,α2,α3满足α1—2α2+3α3=0，对任意的n维向量β，向量组α1+αβ，α2+bβ，α3线性相关，则参数a，b应满足条件 ( )
admin
2014-04-23
48
问题
设n维向量α
1
,α
2
,α
3
满足α
1
—2α
2
+3α
3
=0，对任意的n维向量β，向量组α
1
+αβ，α
2
+bβ，α
3
线性相关，则参数a，b应满足条件 ( )
选项
A、a=b
B、a=一b
C、a=2b
D、a=一26
答案
C
解析
法一 因α
1
，α
2
，α
3
满足α
1
－2α
2
+3α
3
=0(*)，要求向量组α
1
+αβ，α
2
+bβ，α
3
线性相关，其中β是任意向量．利用式(*)，
取常数k
1
=1，k
2
=一2，k
3
=3，对向量组α
1
+αβ，α
2
+bβ，α
3
作线性组合，得(α
1
+αβ)一2(α
2
+bβ)+3α
3
=α
1
一2α
2
+3α
3
+(a一2b)β=(a－2b)β．故当a=2b时，对任意的n维向量β均有α
1
+αβ一2(α
2
+bβ)+3α
3
=0．
即α=2b时，α
1
+αβ，α
2
+bβ，α
3
对任意β线性相关．故应选C．
法二 α
1
+αβ，α
2
+bβ，α
3
线性相关
r[α
1
+αβ，α
2
+bβ，α
3
]≤2．对矩阵[α
1
+αβ，α
2
+bβ，α
3
]
作初等列变换(不改变秩)有[α
1
+bβ，α
2
+bβ，α
3
]→[α
1
+bβ，α
2
+bβ．α
1
+αβ一2(α
2
+bβ)+α
3
]→[α
1
+αβ，α
2
+bβ，(α一2b)β]
[α
1
+αβ，α
2
+bβ，0]，
故a=2b时，r[α
1
+aβ，α
2
+bβ，α
3
]≤2，α
1
+αβ，α
2
+bβ，α
3
线性相关，应选C．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/SN54777K
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考研数学一
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