设η1，η2，…，ηk是向量子空间V的一个规范正交基，α1，α2∈V，它们在此基下的坐标分别为k维实向量γ1，γ2．证明： (1)内积(α1，α2)＝(γ1，γ2)． (2)‖αi‖＝‖γi‖，i＝1，2．

admin2018-11-23 83

问题设η₁，η₂，…，η_k是向量子空间V的一个规范正交基，α₁，α₂∈V，它们在此基下的坐标分别为k维实向量γ₁，γ₂．证明：
(1)内积(α₁，α₂)＝(γ₁，γ₂)．
(2)‖α_i‖＝‖γ_i‖，i＝1，2．

选项

答案(1)设γ_i＝(c_i1，c_i2…，c_ik)^T，则α_i＝c_i1η₁＋c_i2η₂＋…＋c_ikη_k，i＝1，2．于是 (α₁，α₂)＝(c₁₁η₁＋c₁₂η₂＋…＋c_1kη_k，c₂₁η₁＋c₂₂η₂＋…＋c_2kη_k) ＝c₁₁c₂₁＋c₁₂c₂₂＋…＋c_1kc_2k＝(γ₁，γ₂)． (2)当α₁＝α₂时，用(1)得‖α_i‖²＝‖γ_i‖²，从而‖α_i‖＝‖γ_i‖＝ 1，2．

解析

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考研数学一

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设η1，η2，…，ηk是向量子空间V的一个规范正交基，α1，α2∈V，它们在此基下的坐标分别为k维实向量γ1，γ2．证明： (1)内积(α1，α2)＝(γ1，γ2)． (2)‖αi‖＝‖γi‖，i＝1，2．

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