试证：|arctan b—arctan a|≤|b—a|．

admin2017-05-25 43

问题试证：|arctan b—arctan a|≤|b—a|．

选项

答案对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系．因此可以设y=f(x)=arctan x，不妨设a＜b．则y=arctan x在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导．进而可知，y=arctan x在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，因此必定存在点ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)．由于 [*] 由于1+ξ²≥1，因此 |arctan b—arctan a|≤|b—a|．

解析

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