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设f(x)连续,且满足f(x)=(x-π)2-,求f(x)。
设f(x)连续,且满足f(x)=(x-π)2-,求f(x)。
admin
2020-05-16
42
问题
设f(x)连续,且满足f(x)=(x-π)
2
-
,求f(x)。
选项
答案
令s=x-t,得f(x)=(x-π)
2
-[*],即 f(x)=(x-π)
2
-x[*] ① 现将其转换为微分方程问题。对①式两边求导得 f’(x)=2(x-π)-[*], ② 在①式中令x=π得f(π)=0。 再对②式求导得f’’(x)+f(x)=2。 在②式中令x=π得f’(π)=0。 于是问题转化为初值问题[*]其中y=f(x)。 这是二阶线性常系数微分方程,显然有常数特解y
*
=2,于是通解为 y=C
1
cosx+C
2
sinx+2。 由[*]解得C
1
=2,C
2
=0。因此 y=f(x)=2cosx+2。
解析
这是变上限积分的方程,且被积函数含有参变量,因此先进行变量替换。转化为被积函数不含参变量的情形即可。
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/Rhx4777K
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考研数学三
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