2. 考研
  3. 设A(2，2)，B(1，1)，f是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y=y(x)，且它与 围成的面积为2，又φ(y)有连续导数，求曲线积分 I=∫Γ[πφ(y)cosπx－2πy]dx+[φ’(y)sinπx－2π]dy．

设A(2，2)，B(1，1)，f是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y=y(x)，且它与 围成的面积为2，又φ(y)有连续导数，求曲线积分 I=∫Γ[πφ(y)cosπx－2πy]dx+[φ’(y)sinπx－2π]dy．

admin2020-03-08  51
问题 设A(2，2)，B(1，1)，f是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y=y(x)，且它与
    围成的面积为2，又φ(y)有连续导数，求曲线积分
    I=∫Γ[πφ(y)cosπx－2πy]dx+[φ’(y)sinπx－2π]dy．
选项
答案把该曲线积分分成两部分，其中一个积分的被积表达式易求原函数，另一积分可添加辅助线[*]后用格林公式 I=∫Γπφ(y)cosπxdx+φ’sinπxdy－2πdy+∫Γ(－2πy)dx[*]I1+I2 其中 I2=∫Γφ(y)dsinπx+sinπxdφ(y)－d(2πy)=[φ(y)sinπx－2πy][*]=2π 为用格林公式求I2，添加辅助线[*]围成区域D，并构成D的负向边界，如图 [*] 于是[*] 又[*]的方程：y=x， x∈[1，2]，则 [*] 因此I2=∫Γ(－2πy)dx=－4π－[*]=－4π+3π=－π 故 I=I1+I2=π．
解析
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考研数学一

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