2. 考研
  3. 设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e一x=0，求f(x)．

设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e一x=0，求f(x)．

admin2016-10-24  44
问题 设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e一x=0，求f(x)．
选项
答案因为x∫01f(tx)dt=∫0xf(u)du，所以f’(x)+3∫0xf(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e一x=0可化为 f(x)+3∫0xf’(t)dt+2∫0xf(t)dt+e一x=0， 两边对x求导得f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e一x， 由λ2+3λ+2=0得λ1=一1，λ2=一2， 则方程f"(x)+3f’(x)+2f(x)=0通解为C1e一x+C2e一2x． 令f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e一x的一个特解为y0=axe一x，代入得a=1，则原方程的通解为f(x)=C1e一x+C2e一2x+xe一x． 由f(0)=1，f’(0)=一1得C1=0，C2=1，故原方程的解为f(x)=e一2x+xe一x．
解析
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考研数学三

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