[2007年] 求微分方程y＂(x+y′2)=y′满足初始条件y(1)=y′(1)=1的特解．

admin2019-06-09 66

问题 [2007年] 求微分方程y＂(x+y^′2)=y′满足初始条件y(1)=y′(1)=1的特解．

选项

答案所给方程为不显含y的可降阶的微分方程，可令y′=p(x)，得到y＂=p′降阶求解．令P=y′得[*]=p′(x+p²)=p．原方程化为p′(x+p²)=p．注意到该方程仅含x的一次幂而含P的高次幂，可化为[*]=p而解之(以x为因变量，p为自变量)．积分得[*]x=P+C₁，即x=P(p+C₁)．由初值x=1时p=y′(1)=1得C₁=0，则P²=x，P=√x，即y′=√x．再积分得y=[*]+C．由y(1)=l得C=1／3，故y=(2／3)x^3/2+1／3．

解析

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