设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当x∈(0，+∞)时｜f(x)｜≤M0，｜f"’(x)｜≤M3，其中M0，M3为非负常数，求证f"(x)在(0，+∞)上有界．

admin2017-10-23 53

问题设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当x∈(0，+∞)时
｜f(x)｜≤M₀，｜f"’(x)｜≤M₃，
其中M₀，M₃为非负常数，求证f"(x)在(0，+∞)上有界．

选项

答案分别讨论x＞1与0＜x≤1两种情形． 1)当x＞1时考察二阶泰勒公式 [*] 2)当0＜x≤1时对f"(x)用拉格朗日中值定理，有 f"(x)=f"(x)一f"(1)+f"(1)=f"’(ξ)(x一1)+f"(1)，其中ξ∈(x，1)．从而｜f"(x)｜≤f"’(ξ)｜｜x一1｜+1f"(1)｜≤M₃+｜f"(1)｜ (x∈(0，1]) 综合即知f"(x)在(0，+∞)上有界．

解析

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