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设e<a<b<e2,证明:ln2b-ln2a>4/e2(b-a)。
设e<a<b<e2,证明:ln2b-ln2a>4/e2(b-a)。
admin
2019-08-01
54
问题
设e<a<b<e
2
,证明:ln
2
b-ln
2
a>4/e
2
(b-a)。
选项
答案
方法一:对函数ln
2
x在[a,b]上应用拉格朗日中值定理,得 ln
2
b-ln
2
a=2lnξ/ξ(b-a),a<ξ<b。 设φ(t)=lnt/t,φ’(t)=(1-lnt)/t
2
,当t>e时,φ’(t)<0,所以φ(t)单调减少,从而φ(ξ)>φ(e
2
), 即lnξ/ξ>lne
2
/e
2
=2/e
2
,故 ln
2
b-ln
2
a>4/e
2
(b-a)。 方法二:设φ(x)=ln
2
x-[*]x,则 [*] 因此当x>e时,φ"(x)<0,故φ’(x)单调减少,从而当e<x<e
2
时,φ’(x)>φ’(e
2
)=[*]=0,即当e<x<e
2
时,φ(x)单调增加。 因此当e<a<b<e
2
时,φ(b)>φ(a),即ln
2
b-[*]b>ln
2
a-[*]a,故 ln
2
b-ln
2
a>4/e
2
(b-a)。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/RDN4777K
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考研数学二
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