2. 考研
  3. 设A是m×n阶矩阵，试证明： (Ⅰ)如果A行满秩(r(A)=m)，则对任何m×s矩阵C，矩阵方程AX=C都有解。 (Ⅱ)如果A列满秩(r(A)=n)，则存在n×m矩阵B，使得BA=E(E是n阶单位矩阵)。

设A是m×n阶矩阵，试证明： (Ⅰ)如果A行满秩(r(A)=m)，则对任何m×s矩阵C，矩阵方程AX=C都有解。 (Ⅱ)如果A列满秩(r(A)=n)，则存在n×m矩阵B，使得BA=E(E是n阶单位矩阵)。

admin2018-11-16  59
问题 设A是m×n阶矩阵，试证明：
(Ⅰ)如果A行满秩(r(A)=m)，则对任何m×s矩阵C，矩阵方程AX=C都有解。
(Ⅱ)如果A列满秩(r(A)=n)，则存在n×m矩阵B，使得BA=E(E是n阶单位矩阵)。
选项
答案(Ⅰ)因为r(A)=m，对任何β，m=r(A)≤r(A，β)≤m，((A，β)是m×(n+1)矩阵)因此总有r(A)=r(A，β)，于是方程组AX=β总有解。设C=(β1，β2，…，βs)，对每个i=1，2，…，s，取η1是方程组AX=β1的一个解，则矩阵D=(η1，η2，…，ηs)，则AD=C。 (Ⅱ)如果A列满秩，则AT行满秩，根据(Ⅰ)的结果，存在m×n矩阵H，使得ATH=E，记B=HT，则BA=HTA=(ATH)T=E。
解析
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考研数学三

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