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对于任意二事件A1，A2，考虑二随机变量 试证明：随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立．
对于任意二事件A1，A2，考虑二随机变量 试证明：随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立．
admin
2018-11-22
49
问题
对于任意二事件A
1
，A
2
，考虑二随机变量
试证明：随机变量X
1
和X
2
独立的充分必要条件是事件A
1
和A
2
相互独立．
选项
答案
记p
i
=P(A
i
)(i=1，2)，p
12
=P(A
1
A
2
)，而ρ是X
1
和X
2
的相关系数．易见，随机变量X
1
和X
2
都服从0～1分布，并且 P{X
i
=1}=P(A
i
)，P{X
i
=0)=[*]，P{X
1
=1，X
2
=1}=P(A
1
A
2
)． (1)必要性．设随机变量X
1
和X
2
独立，则 P(A
1
A
2
)=P{X
1
=1，X
2
=1)=P{X
1
=1)P(X
2
=1}=P(A
1
)P(A
2
)． 从而，事件A
1
和A
2
相互独立． (2)充分性．设事件A
1
和A
2
相互独立，则[*]也都独立，故 P{X
1
=0，X
2
=0}=[*]=P{X
1
=0)P{X
2
=0}， P{X
1
=0，X
2
=1}=P{X
1
=0}P{X
2
=1}， P{X
1
=1，X
2
=0}=[*]=P{X
1
=1}P{X
2
=0}， P{X
1
=1X
2
=1}=[*]=P(A
1
A
2
)=P(A
1
)P(A
2
)=P{X
2
=1}P{X
2
=1}． 从而，随机变量X
1
和X
2
相互独立．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/QzM4777K
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考研数学一
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