设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，且满足 λ∈(0，1)为常数．求证：在(0，1)内至少存在一点ξ，使f′(ξ)=一f(ξ)／ξ．

admin2015-12-22 66

问题设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，且满足

λ∈(0，1)为常数．
求证：在(0，1)内至少存在一点ξ，使f′(ξ)=一f(ξ)／ξ．

选项

答案利用积分中值定理，存在ξ₁∈(0，λ)，使f(1)=ξ₁f(ξ₁)．如果令 F(x)=xf(x)，则 F(1)=f(1)=ξ₁f(ξ₁)=F(ξ₁)，即F(x)在x=1，x=ξ₁两点处函数值相等，故可对F(x)在(ξ₁，1)内使用罗尔定理．证令F(x)=xf(x)，显然F(x)在[0，1]上可微．应用积分中值定理得 [*] 又 F(ξ₁)=ξ₁f(ξ₁)，则 F(ξ₁)=F(1)．于是对F(x)在[ξ₁，1]上应用罗尔定理知，至少存在[*]，使得 F′(ξ)=ξf′(ξ)+f(ξ)=0，即 [*]

解析

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考研数学二

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