证明：当x≥0且n为自然数时∫0x(t一t2)sin2ntdt≤．

admin2019-08-06 47

问题证明：当x≥0且n为自然数时∫₀^x(t一t²)sin²ⁿtdt≤

．

选项

答案令f(x)=∫₀^x(t—t²)sin²ⁿtdt，则f’(x)=(x一x²)sin²ⁿx．当0＜x＜1时，f’(x)＞0；当x＞1时，除x=kπ(k=1，2，3，…)时f’(x)=0外，均有f’(x)＜0，故f(x)在0≤x≤1单调上升，在x≥1单调减小，因此f(x)在[0，+∞)上取最大值f(1)．又当t≥0时，sint≤t，于是当x≥0时有 f(x)≤f(1)=∫₀¹(t一t2)sin²ⁿtdt≤∫₀¹(t一t²)t²ⁿdt =[*]。

解析

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考研数学三

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