设Am×n，r(A)=m，Bn×(n－m)，r(B)=n－m，且满足关系AB=0．证明：若η是齐次方程Ax=0的解，则必存在唯一的ξ，使得Bξ=η．

admin2017-06-14 78

问题设A_m×n，r(A)=m，B_n×(n－m)，r(B)=n－m，且满足关系AB=0．证明：若η是齐次方程Ax=0的解，则必存在唯一的ξ，使得Bξ=η．

选项

答案将B按列分块，设B=[β₁，β₂，…，β_n－m]，因已知AB=0，故知B的每－列均是AX=0的解，由r(A)=m，r(B)=n－m，β₁，β₂，…，β_n－m是AX=0的基础解系．若η是AX=0的解向量，则η可由基础解系β₁，β₂，…，β_n－m线性表示，且表示法唯一，即 η=x₁β₁+x₂β₂+…+x_n－mβ_n－m，即存在唯一的ξ，使Bξ=η．

解析

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考研数学一

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