三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22一2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=求此二次型．

admin2016-10-24 54

问题三元二次型f=X^TAX经过正交变换化为标准形f=y₁²+y₂²一2y₃²，且A^*+2E的非零特征值对应的特征向量为α₁=

求此二次型．

选项

答案因为f=X^TAX经过正交变换后的标准形为f=y₁²+y₂²一2y₃²，所以矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=一2．由|A|=λ₁λ₂λ₃=一2得A^*的特征值为μ₁=μ₂=一2，μ₃=1，从而A^*+2E的特征值为0，0，3，即α₁为A^*+2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ₃=一2的特征向量，令A的属于特征值λ₁=λ₂=1的特征向量为α=[*]，因为A为实对称矩阵，所以有α₁^Tα=0，即x₁+x₃=0故矩阵A的属于λ₁=λ₂=1的特征向量为 α₂=[*] 令P=(α₂，α₃，α₁)=[*]，得 [*] 所求的二次型为 f=X^TAX=一[*]x₃²+x₂²一[*]x₃²一3x₁x₂

解析

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考研数学三

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三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22一2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=求此二次型．

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