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设有向量组(Ⅰ):α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,-1,a+2)T和向量组(Ⅱ):β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T.试问:当a为何值时,向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价?当a为何值
设有向量组(Ⅰ):α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,-1,a+2)T和向量组(Ⅱ):β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T.试问:当a为何值时,向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价?当a为何值
admin
2016-06-30
77
问题
设有向量组(Ⅰ):α
1
=(1,0,2)
T
,α
2
=(1,1,3)
T
,α
3
=(1,-1,a+2)
T
和向量组(Ⅱ):β
1
=(1,2,a+3)
T
,β
2
=(2,1,a+6)
T
,β
3
=(2,1,a+4)
T
.试问:当a为何值时,向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价?当a为何值时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价?
选项
答案
由于行列式|α
1
α
2
α
3
|=a+1,故当a≠-1时,秩[α
1
α
2
α
3
]=3.方程组χ
1
α
1
+χ
2
α
2
+χ
3
α
3
=β
i
(i=1,2,3)有解(且有唯一解),所以向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅰ)线性表示;又由行列式|β
1
β
2
β
3
|=6≠0,同理可知向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示.故当a≠-1时,(Ⅰ)与(Ⅱ)等价.当a=-1时,由于秩[α
1
α
2
α
3
]≠秩[α
1
α
2
α
3
[*]β
1
],故方程组χ
1
α
1
+χ
2
α
2
+χ
3
α
3
=β
1
无解,即β
1
不能由向量组(Ⅰ)线性表示,所以(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价.
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/Q9t4777K
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考研数学二
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