2. 考研
  3. 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=λ，试证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使 f′(ξ)+f(ξ)=λ．

设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=λ，试证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使 f′(ξ)+f(ξ)=λ．

admin2016-02-27  36
问题 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=λ，试证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使
      f′(ξ)+f(ξ)=λ．
选项
答案首先考虑哪一个函数的导数能推出f′(x)+f(x)一λ=0．因为 f′(x)+f(x)一λ=[f(x)一λ]′+[f(λ)一λ]=0． 故 ex[f(x)一λ]′+(ex)′[f(x)一λ]=0·ex=0 即 {ex[f(x)一λ]}′=0． 因而借助ex的导数等于它自己的性质，由函数F(x)=ex[f(x)一λ]的导数能推出 f′(x)+f(x)一λ=0． 事实上， F′(x)=ex[f(x)一λ]+exf′(x)=ex[f′(x)+f(x)一λ]． 因为ex≠0，由 ex[f′(x)+f(x)一λ]=0， 就得到 f′(x)+f(x)一λ=0， 即 f′(x)+f(x)=λ． 证 作辅助函数 F(x)=ex(f(x)一λ)， 则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=0， F′(x)=ex(f′(x)+f(x)一λ)， 故由罗尔定理可知，存在ξ∈(a，b)，使F′(ξ)=0，注意到eξ≠0，即得 f′(ξ)+f(ξ)=λ．
解析
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考研数学二

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