设向量α=(α1α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT。求： A2；

admin2015-09-14 63

问题设向量α=(α₁α₂，…，α_n)^T，β=(b₁，b₂，…，b_n)^T都是非零向量，且满足条件α^Tβ=0．记n阶矩阵A=αβ^T。求：
A²；

选项

答案由α^Tβ=0，有β^Tα=0．由A=αβ^T，有 A²=AA=(αβ^T)(αβ^T)=α(β^Tα)β^T一(β^Tα)(αβ^T)=0 即A²为n阶零矩阵。

解析本题主要考查矩阵乘法，注意这里首先由α^Tβ是1阶方阵，知其转置不变，得0=α^Tβ= (α^Tβ)^T=β^Tα；其次，在求A²时，利用了矩阵乘法的结合律，并利用已推得的β^Tα=0，很快推得A²=0，而并没有具体计算A并进而计算A²，可见作矩阵运算时一般要先作“字母运算”进行化简。

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