设随机变量(X，Y)～N(0，0；1，4；0)． (Ⅰ)若X+Y与X+aY相互独立，求a的值，并求Z=X+aY的概率密度f(z)； (Ⅱ)计算D(X2一2Y2)．

admin2020-05-19 70

问题设随机变量(X，Y)～N(0，0；1，4；0)．
(Ⅰ)若X+Y与X+aY相互独立，求a的值，并求Z=X+aY的概率密度f(z)；
(Ⅱ)计算D(X²一2Y²)．

选项

答案(Ⅰ)因为X+Y与X+aY独立，所以X+Y与X+aY不相关．又对二维正态分布ρ_XY=0[*]X与Y独立，所以Cov(X+Y，X+aY)=Coy(X，X)+Coy(X，ay)+Cov(Y，X)+aCov(Y，Y) =DX+aDY=1+a.4=0 [*] 由(X，Y)～N(0，0；1，4；0)，有X～N(0，1)，Y～N(0，4)，且X与Y独立． [*] (Ⅱ)由X与Y独立，有X²与Y²独立，所以D(X²－2Y²)=D(X²)+4D(Y²)． [*] 所以D(X²一2Y²)=[*]

解析

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考研数学一

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若函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex，则f(x)=________。
设ξ和η是独立同分布的两个随机变量。已知ξ的分布律为P{ξ=i}=，i=1，2，3，又设X=max{ξ，η}，Y=min{ξ，η}。求E(X)。
设A为n阶矩阵且r(A)=n一1．证明：存在常数k，使得(A*)2=kA*．
假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域G={(x，y)｜0≤x≤2,0≤y≤1}上服从均匀分布，记求U和V的相关系数ρ。
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已知随机变量X的概率密度为f(χ)＝Aeχ(B－χ)(－∞＜χ＜＋∞)，且E(X)＝2D(X)，试求：(Ⅰ)常数A，B之值；(Ⅱ)B(X2＋eX)；(Ⅲ)Y＝｜(X－1)｜的分布函数F(y)．

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