设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,.证明：存在εi∈(a,b)（i=1,2），且ε1≠ε2,使得f’(εi)+f(εi)=0,(i=1,2).

admin2019-09-23 54

问题设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,

.证明：
存在ε_i∈(a,b)（i=1,2），且ε₁≠ε₂,使得f’(ε_i)+f(ε_i)=0,(i=1,2).

选项

答案令h(x)=e^xf(x),因为h(a)=h(c)=h(b)=0,所以由罗尔定理，存在ε₁∈(a,c),ε₂∈(c,b),使得h’(ε₁)=h’(ε₂)=0,而h’(x)=e^x[f’(x)+f(x)]且e^x≠0,所以f’(ε_i)+f(ε_i)=0(i=1,2).

解析

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考研数学二

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